http://arjasb.blogfa.com/ fa blogfa.com Tue, 13 May 2008 07:02:26 GMT http://arjasb.blogfa.com/post-55.aspx <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD><FONT face=Tahoma color=#008000 size=4>عدد شگفت‌انگيز پي</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR><BR><BR><BR></P></TD></TR> <TR> <TD> <P class="" dir=rtl style="DIRECTION: rtl; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: justify" align=justify><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff><IMG style="BORDER-LEFT-COLOR: #0000ff; BORDER-BOTTOM-COLOR: #0000ff; WIDTH: 250px; BORDER-TOP-COLOR: #0000ff; HEIGHT: 335px; BORDER-RIGHT-COLOR: #0000ff" alt="" hspace=4 src="http://roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-033-50.jpg" align=right vspace=4 border=1>«عدد پي» </FONT>برای اولین بار توسط <FONT color=#0000ff>«غیاث‌الدین محمود کاشانی»</FONT>، دانشمند و ریاضی‌دان برجسته‌ي ایرانی به دنیای ریاضی معرفی شد. <BR><BR>او این رقم را تا 15 رقم اعشار با به‌دست آوردن نسبت محیط دایره‌های مختلف به قطر آنان محاسبه کرد. <BR><BR>تا این‌که در سال 1384 (2005 میلادی) بزرگ‌ترین ماشین حساب موجود توسط پروفسور «یاسوماسا کانادا» (Yasumasa Kanada) و تیمی متشکل از محققین ریاضی توانست عدد شگفت‌انگیز<IMG alt="" src="http://roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/BreakTime31Formula01.png"> را تا 1240000000000 رقم اعشار محاسبه کند. <BR><BR>رکورد قبلی این کار توسط همین پروفسور و در سال 1378 (1999 میلادی) ثبت شده بود. تعداد ارقام این عدد اعجاب‌انگیز در رکورد قبلی 206158000000 بوده است. <BR><BR><BR><BR><BR><BR>در زیر نمونه‌هایی از دنباله‌های جالبی را برای شما عزیزان گرد آورده‌ایم که ...</FONT></P> <P class="" dir=rtl style="DIRECTION: rtl; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: justify" align=justify><FONT face=Tahoma size=2>از دید آنالیزی می‌توان نشان داد که ...<BR></P> <P class="" align=left><IMG alt="" src="http://roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/BreakTime31Formula02.png"></P> <P class="" dir=rtl style="DIRECTION: rtl; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: justify" align=justify><FONT face=Tahoma size=2>و اما دنباله‌هایی بسیار کارا و جالب ...<BR><BR><BR></P> <P class="" align=left><IMG alt="" src="http://roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/BreakTime31Formula03.png"></P> <P class="" align=left><IMG alt="" src="http://roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/BreakTime31Formula04.png"></P> <P dir=rtl style="DIRECTION: rtl; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: justify" align=justify><FONT face=Tahoma size=2><BR>و اما رابطه‌ي بسیار ساده‌ای که در آن 5 عدد استثنایی معرفی می‌شوند:<BR></P> <P class="" align=left><IMG alt="" src="http://roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/BreakTime31Formula05.png"></P> <DIV class="" dir=rtl style="DIRECTION: rtl; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: justify" align=justify><FONT face=Tahoma size=2><BR> <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD><FONT color=#0000ff><IMG style="WIDTH: 250px; HEIGHT: 347px" alt="" src="http://roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-033-51.jpg" align=left></FONT></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff><FONT size=2>«یاسوماسا کانادا»<BR>(Y</FONT>asumasa Kanada)</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></DIV></FONT></FONT></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE> Tue, 13 May 2008 07:02:26 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=arjasb&postid=55 arjasb http://arjasb.blogfa.com/post-55.aspx http://arjasb.blogfa.com/post-54.aspx <FONT color=#0000ff>استقراي رياضي»</FONT> روشي براي استدلال رياضي است كه به‌خصوص در مواردي به‌كار مي‌رود كه يك عبارت مفروض براي تمام <FONT color=#0000ff>«اعداد طبيعي»</FONT> صدق مي‌كند. اين روش مي‌تواند براي اثبات جمله‌‌هايي در ساختارهاي عمومي كاملاً منطقي به‌كار رود. <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>چنين تعميم‌هايي - كه اصطلاحاً <FONT color=#0000ff>«استقراي ساختاريافته» (Structural Induction)</FONT> ناميده مي‌شود - در <FONT color=#0000ff>«منطق رياضي» (Mathematical Logic)</FONT> و علوم كامپيوتر استفاده مي‌شود.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>به‌علاوه مفهوم <FONT color=#0000ff>«استقراي رياضي»</FONT> از لحاظ منطقي معادل مفهوم <FONT color=#0000ff>«خوش‌ترتيبي» (Well Ordering)</FONT> است.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>نسبت به <FONT color=#0000ff>«استقراي رياضي»</FONT> نبايد اين‌گونه تعبير نامناسبي انجام شود كه مثلاً: داراي استحكام لازم نبوده و با رياضي تطبيق ندارد. در واقع <FONT color=#0000ff>«استقرا»‌</FONT> در رياضي، شكلي از <FONT color=#0000ff>«استدلال قياسي» (Deductive Reasoning)</FONT> بوده و به‌شدت مستحكم است.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR> <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><A href="http://www.crystalinks.com/euclid.html" target=_blank><IMG style="WIDTH: 200px; HEIGHT: 316px" alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036-(44).jpg" border=0></A><BR></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><A href="http://www.crystalinks.com/euclid.html" target=_blank><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff>«اقليدس از اسكندريه»<BR>(Euclid of Alexandria)</FONT></FONT></A> </P></TD></TR> <TR> <TD></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>«بهاسكارا»<BR>(Bhaskara)</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR>گفته مي‌شود اولين كاربرد <FONT color=#0000ff>«استقراي رياضي»</FONT> به دو دانشمند به‌نام‌هاي ذيل برمي‌گردد:<BR></FONT> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>- <A href="http://encycl.opentopia.com/term/Euclid" target=_blank>«اقليدس» (Euclid)</A><BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff><A href="http://www.crystalinks.com/euclid.html" target=_blank><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff>«اقليدس از اسكندريه» (Euclid of Alexandria)</FONT></FONT></A></FONT></FONT> اثبات كرد تعداد اعداد اول نامحدود است.<BR></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>- «بهاسكارا» (Bhaskara)<BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff>«بهاسكارا» (Bhaskara)</FONT> در <FONT color=#0000ff>«روش چرخشي» (Cyclic Method)</FONT> از «استقرا» استفاده كرد.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>اولين اثبات <FONT color=#0000ff>«استقراي رياضي</FONT>» نيز در بعضي از منابع به <A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Al-Karaji" target=_blank><FONT color=#0000ff>«ابوبكر ابن الحسين»</FONT> </A>معروف به <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Al-Karaji" target=_blank><FONT color=#0000ff>«الكرجي»</FONT></A></FONT> حدود 1000 سال بعد از ميلاد نسبت داده شده است؛ زماني كه از <FONT color=#0000ff>«استقرا»</FONT> براي اثبات <FONT color=#0000ff>«قضيه‌ي چند جمله‌اي‌ها»</FONT>، <FONT color=#0000ff>«مثلث پاسكال»</FONT> و <FONT color=#0000ff>«مكعب‌هاي اعداد صحيح»</FONT> استفاده كرد. اين دانشمند در اثباتش از دو جزو از يك اثبات استقرايي يعني: <FONT color=#0000ff>«صحت جمله براي <IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036.gif">»</FONT> و <FONT color=#0000ff>«نتيجه‌گيري درستي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(14).gif"> از <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(2).gif">»</FONT> استفاده كرد.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>پس از آن، دانشمند شهير ايراني <FONT color=#0000ff><A href="http://www.cgie.org.ir/shavad.asp?id=123&avaid=1917" target=_blank><FONT color=#0000ff>«ابن هيثم» (الهازن)</FONT></A></FONT> از روش استقرايي و تعميم براي اثبات موارد ذيل به‌عنوان نتيجه‌‌ي مهم از <FONT color=#0000ff>«حساب انتگرال» (Integral Calculus)</FONT></FONT><FONT face=Tahoma size=2> استفاده كرد:<BR></FONT> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma size=2>- جمع توان‌هاي چهارم اعداد صحيح</FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma size=2>- جمع همه‌ي توان‌هاي اعداد صحيح.</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>اگرچه وي تنها آن را براي اعداد صحيح به‌خصوصي ثابت كرد اما در اثباتش در مورد آن اعداد صحيح، از <FONT color=#0000ff>«استقرا»</FONT> و تعميم‌پذيري استفاده كرد. </FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>رياضيدان قرن دوازدهم <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Ibn_Yahy%C4%81_al-Maghrib%C4%AB_al-Samaw%27al" target=_blank><FONT color=#0000ff>«السموئل ابن يحيي مغربي»</FONT></A></FONT> امروزي‌ترين اثبات «استقرا» را انجام داد. وي از بسط اثبات <FONT color=#0000ff>«قضيه‌ي چندجمله‌اي‌ها»</FONT> و <FONT color=#0000ff>«مثلث پاسكال»</FONT> - كه قبلاً <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Al-Karaji" target=_blank><FONT color=#0000ff>«الكرجي»</FONT></A></FONT> بيان كرده بود – استفاده كرد. بحث استقراي <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Ibn_Yahy%C4%81_al-Maghrib%C4%AB_al-Samaw%27al" target=_blank><FONT color=#0000ff>«السموئل»</FONT></A></FONT> تنها مرحله‌اي كوتاه از اثبات كامل استقرايي <FONT color=#0000ff>«قضيه‌ي چندجمله‌اي‌هاي عمومي»</FONT> محسوب مي‌شود.<BR><BR></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"> <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><IMG style="WIDTH: 200px; HEIGHT: 282px" alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036-(48).jpg" border=0></A><BR></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff size=2>«فرانسيسكو مائوروليكو»<BR>(Francesco Maurolico)</FONT></A></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P></FONT> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>اما به هر حال هيچ‌كدام از دانشمندان قديمي مذكور به‌وضوح <FONT color=#0000ff>«فرض استقرا»</FONT> را توضيح ندادند. اولين اثبات واضح و روشن «استقرا» در سال 954 (1575 ميلادي) توسط رياضيدان و منجم ايتاليايي <FONT color=#0000ff><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو» (Francesco Maurolico)</FONT></A></FONT> انجام شد. اين دانشمند از اين روش براي اثبات اين‌كه جمع <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(3).gif"> عدد صحيح و فرد برابر <IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(4).gif"> است استفاده كرد.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>هم‌چنين شرط استقرا به‌طور مستقل توسط دانشمندان ذيل كشف شد:<BR></FONT> <TABLE> <TBODY class=" RadEDomMouseOver"> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- دانشمند سوييسي <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Jakob_Bernoulli" target=_blank><FONT color=#0000ff>«ژاكوب برنولي» (Jacob Bernoulli)</FONT></A></FONT></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify" align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- دانشمند فرانسوي <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal" target=_blank><FONT color=#0000ff>«بلز پاسكال» (Blaise Pascal)</FONT></A></FONT></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>- <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat" target=_blank><FONT color=#0000ff>«پير دو فرما» (Pierre de Fermat)</FONT></A></FONT>.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><BR><BR><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>استقرا و تعريف آن</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT><FONT color=#0000ff>«استقراي رياضي»</FONT> براي اثبات اين امر به‌كار مي‌رود كه هر جمله از يك دنباله‌ي نامحدود از آن تبعيت مي‌كند. اين‌كار در دو مرحله انجام مي‌شود:</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- اثبات اين‌كه عبارت اول در دنباله‌ي نامحدود مذكور از آن تبعيت مي‌كند.</FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- اثبات اين‌كه چنان‌چه جمله‌اي در دنباله‌ي نامحدود نيز از آن پيروي كند جمله‌ي بعدي نيز از آن تبعيت خواهد كرد.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><BR><BR><FONT face=Tahoma size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>تعريف رياضي</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE>تعريف ساده و عمومي از <FONT color=#0000ff>«استقراي رياضي»</FONT> عبارت است از: اثبات اين‌كه يك جمله براي تمام اعداد طبيعي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(3).gif"> صادق بوده و شامل دو مرحله است:</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- مرحله‌ي اصلي<BR>نشان دادن اين‌كه جمله به‌ازاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(5).gif"> صادق است.</FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify" align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- مرحله‌ي استقرايي<BR>نشان دادن اين‌كه اگر جمله به‌ازاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(6).gif"> صادق باشد به‌ازاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(7).gif"> نيز صادق خواهد بود.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>در استقرا، جمله‌اي كه بعد از كلمه‌ي <FONT color=#0000ff>«اگر»</FONT> آمده است (جمله به‌ازاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(6).gif"> صادق باشد) اصطلاحاً <FONT color=#0000ff>«فرض استقرا»</FONT> ناميده مي‌شود. </FONT></P> <P class=" RadEDomMouseOver"><FONT class=" RadEDomMouseOver" face=Tahoma size=2> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>بدين‌ترتيب ابتدا اثبات مي‌شود <FONT color=#0000ff>«فرض استقرا»</FONT> صادق است (جمله به‌ازاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(6).gif"> صادق است) و سپس از اين فرض براي اثبات صدق‌ جمله براي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036%20(7).gif"> </FONT><FONT face=Tahoma size=2>نيز استفاده مي‌شود.<BR><BR><BR><BR><BR><BR> <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD><IMG style="WIDTH: 250px; HEIGHT: 177px" alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/Competition/Com-Math-042-037.jpg" border=0></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR><BR><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2><A href="http://www.youtube.com/watch?v=uDr-rQ8HBl0" target=_blank><FONT color=#0000ff>«اثر دومينو» (Domino Effect)</FONT></A></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT>در اين‌جا توجه به پديده‌‌ي معروف با عنوان <FONT color=#0000ff><A href="http://www.youtube.com/watch?v=uDr-rQ8HBl0" target=_blank><FONT color=#0000ff>«اثر دومينو» (Domino Effect)</FONT></A></FONT></FONT><FONT class=" RadEDomMouseOver" face=Tahoma size=2> براي درك هرچه بيش‌تر «استقرا» بسيار مفيد است. <FONT color=#0000ff>«دومينو»</FONT> عبارت است از يك رديف طولاني از قطعه‌هاي مكعبي كه از سطح قاعده بر روي زمين قرار گرفته‌اند: <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma size=2>- اولين <FONT color=#0000ff>«دومينو»</FONT> سرنگون مي‌شود.</FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>- هر زمان كه يك <FONT color=#0000ff>«دومينو»</FONT> مي‌افتد <FONT color=#0000ff>«دومينوي»</FONT> مجاور آن نيز سرنگون مي‌شود.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE><BR>بدين‌ترتيب شما ناظر افتادن همه‌ي <FONT color=#0000ff>«دومينوها»</FONT> خواهيد بود و اين واقعيت ناگزير و حتمي است.<BR><BR><BR><BR><BR><BR><BR> <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036-(51).jpg"></TD></TR> <TR> <TD></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-036-(50).jpg"></P></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>قورباغه و نيلوفر آبي</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT>در نظر بگيريد يك رديف از برگ‌هاي گل‌هاي برگ‌پهن در بركه‌اي بر روي سطح آب قرار دارد. اگر قورباغه‌اي بخواهد از اين بركه عبور كند بايد:<BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- تعيين كند كه آيا برگ اولي تحمل وزن وي را دارد.</FONT></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=justify><FONT face=Tahoma size=2></FONT> </P></TD> <TD> <P align=justify><FONT face=Tahoma size=2>- ثابت نمايد كه مي‌تواند از يك برگ بر روي برگ ديگر بپرد.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE><BR>در اين صورت است كه شما نتيجه خواهيد گرفت كه وي مي تواند از روي همه‌ي برگ‌ها بپرد.<BR><BR><BR><BR><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2><FONT color=#0000ff><FONT color=#0000ff size=2><FONT color=#0000ff><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff size=2><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو»</FONT></FONT></A></FONT></FONT></FONT></FONT></TD></TR> <TR> <TD colSpan=2><FONT color=#0000ff size=2><FONT color=#0000ff size=2><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff size=2>(Francesco Maurolico)</FONT></A></FONT></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT><FONT color=#0000ff><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو» (Francesco Maurolico)</FONT></A></FONT> در 31 تير سال 873 (21 ژولاي 1494 ميلادي) در <FONT color=#0000ff>«مسيناي ايتاليا»</FONT> به‌دنيا آمد. در تمام طول عمرش به فعاليت در حوزه‌هاي: هندسه، فيزيك نور، مكانيك، موسيقي و نجوم پرداخت. پدر و مادر وي يوناني بودند كه پس از سقوط <FONT color=#0000ff>«قسطنطنيه»</FONT> در سال 832 (1453 ميلادي) در شهر <FONT color=#0000ff>«سيسيل»</FONT> ايتاليا سكونت داشتند. </P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو»</FONT> آموزشي سختي ديد؛ پدرش فيزيكدان بود كه بعداً در شهر <FONT color=#0000ff>«مسينا»</FONT> به‌سمت سرپرست ضرابخانه منصوب شد. خانواده‌اش داراي ويلايي در خارج شهر بودند.</P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify">در سال 900 (1521 ميلادي) به تحصيل علوم ديني پرداخته و در سال 929 (1550 ميلادي) راهبه شد. </P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT color=#0000ff><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو» (Francesco Maurolico)</FONT></A></FONT> همانند پدر به‌سمت سرپرست ضرابخانه‌‌ي <FONT color=#0000ff>«مسينا»</FONT> منصوب شد. بين سال‌‌هاي 927 تا 929 (1548 تا 1550 ميلادي) در <FONT color=#0000ff>«قلعه‌ي پولينا»</FONT> به رصد پرداخت.</P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify">در سال 948 (1569 ميلادي) به‌سمت پروفسور <FONT color=#0000ff>«دانشگاه مسينا»</FONT> منصوب شد.</P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify">مهم‌ترين فعاليت‌هاي اين دانشمند را مي‌توان در چند زمينه خلاصه كرد:<BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- انعكاس نور<BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2>تمركز فعاليت‌هاي <FONT color=#0000ff><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو» (Francesco Maurolico)</FONT></A></FONT><FONT color=#000000>،</FONT> <FONT color=#0000ff>«انعكاس نور»</FONT> بود و بدين‌ترتيب تلاش كرد توضيحي براي پديده‌ي <FONT color=#0000ff>«رنگين كمان»</FONT> بيابد. <BR><BR>نتيجه‌ي اين فعاليت‌ها در سال 990 (1611 ميلادي) و پس از مرگش منتشر شد. <BR><BR>وي هم‌چنين <FONT color=#0000ff>«اتاق تاريك»</FONT> را مطالعه كرده است. <BR></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- اثبات استقراي رياضي<BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2>در سال 954 (1575 ميلادي) <FONT color=#0000ff>«استقراي رياضي»</FONT> را اثبات كرد.<BR></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- مركز ثقل<BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2>در همان سال (954 يا 1575 ميلادي) تلاش كرد مركز ثقل اجسام (هرم‌ها، اشكال سهموي و ...) را بيابد.<BR></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- تاريخ شهر «سيسيل»<BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2>تاريخ شهر <FONT color=#0000ff>«سيسيل»</FONT> را همراه با شرح زندگي خود مكتوب كرد. وي با حقوق 100 سكه طلا در سال از طرف مجلس سناي سيسيل مأموريت يافت طي دو سال اين كتاب خود را به‌همراه تحقيق‌هايش در رياضيات كامل كند.<BR></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- انتشار كتاب<BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2>كتابي با عنوان <FONT color=#0000ff>«گيتاشناسي»</FONT> منتشر كرد كه در آن به روش‌شناسي (Methodology) اندازه‌گيري زمين پرداخت كه بعداً (در سال 1049 يا 1670 ميلادي) توسط محققي به‌نام <FONT color=#0000ff><A href="http://en.wikipedia.org/wiki/Jean_Picard//" target=_blank><FONT color=#0000ff>«جين پيكارد» (Jean Picard)</FONT></A></FONT> براي اندازه‌گيري نصف‌النهار از آن استفاده شد.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو» (Francesco Maurolico)</FONT></A></FONT> نسخه‌اي از كتاب <FONT color=#0000ff>«مشكلات مكانيكي ارسطو»</FONT>‌ را منتشر كرد؛ هم‌چنين در زمينه‌ي موسيقي داراي كتاب است. كتاب‌هاي ديگري نيز از وي منتشر شده است.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>وي هم‌چنين نقشه‌اي از شهر <FONT color=#0000ff>«سيسيل»</FONT> تهيه و در سال 954 (1575 ميلادي) منتشر كرد.<BR><B> </B></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>- <FONT color=#0000ff><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Francesco_Maurolico" target=_blank><FONT color=#0000ff>«فرانسيسكو مائوروليكو» (Francesco Maurolico)</FONT></A></FONT> دست‌نوشته‌هاي قديمي دانشمنداني نظير ذيل را ترجمه كرد:<BR></FONT> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- <A href="http://encycl.opentopia.com/term/Theodosius_of_Bithynia" target=_blank><FONT color=#0000ff>«تئودوسيوس از بيتينيا» (Theodosius of Bithynia)</FONT></A></FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- <A href="http://encycl.opentopia.com/term/Menelaus_of_Alexandria" target=_blank><FONT color=#0000ff>«منلائوس از اسكندريه» (Menelaus of Alexandria)</FONT></A></FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- <A href="http://encycl.opentopia.com/term/Autolycus_of_Pitane" target=_blank><FONT color=#0000ff>«اتوليكوس از پيتانه» (Autolycus of Pitane)</FONT></A></FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>- «اقليدس از اسكندريه» (Euclid of Al<A href="http://www.crystalinks.com/euclid.html" target=_blank></A>exandria)</FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>-<FONT color=#0000ff> </FONT><A href="http://encycl.opentopia.com/term/Apollonius_of_Perga" target=_blank><FONT color=#0000ff>«آپولونيوس از پرج» (Apollonius of Perga)</FONT></A></FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2></FONT></TD> <TD><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>-<FONT color=#0000ff> </FONT><A href="http://vacuumprocess.net/index1.html" target=_blank><FONT color=#0000ff>«ارشميدس» (Archimedes)</FONT></A></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></P></TD></TR></TBODY></TABLE><BR>اين دانشمند در اول مرداد 954 (1575 ميلادي) در شهر <FONT color=#0000ff>«مسينا»</FONT> دار فاني را وداع گفت. براي قدرداني از اين دانشمند، حفره‌هاي ماه به‌نام وي <FONT color=#0000ff>«مائوروليكوس» (Maurolycus)<B></B></FONT> ناميده شده است.<BR></P></FONT></FONT> Sun, 27 Apr 2008 08:10:31 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=arjasb&postid=54 arjasb http://arjasb.blogfa.com/post-54.aspx http://arjasb.blogfa.com/post-53.aspx <SPAN class=Normal id=dnn_ctr1146_MainView_ViewEntry_lblEntry>بخش‌های بسیار مهمی از «توپولوژی» قسمت شهودی آن است <HR> <FONT face=Tahoma size=2> <P align=center><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-MAth-01.jpg"></P> <P align=justify><FONT color=#0000ff><FONT color=#000000>شاید تا به حال اسم توپولوژی را شنیده باشید.<BR><BR>به‌نظر، اسم قلمبه سلمبه‌ای دارد و شاید فکر کنید موضوع خیلی پیشرفته‌ای باشد که از آن در کتاب‌های درسی دبیرستان موضوعی تدریس نمی‌شود . <BR><BR>در واقع <FONT color=#0000ff>«توپولوژی»</FONT> از شاخه‌های اصلی و گسترده‌ي ریاضیات می‌باشد و در طول سال‌ها پیشرفت‌های زیادی کرده.<BR><BR> اما این‌گونه نیست که دانش‌اموزان از درک آن عاجز باشند. برعکس به‌دلیل داشتن «ماهیت هندسی» در خیلی از جاهای این علم تنها به کمی شهود نیازمندیم. <BR><BR>توپولوزی در قسمت‌های مختلف ریاضیات مانند: جبر، آنالیز حقیقی و مختلط، هندسه‌ي جبری و حتی ترکیبیات، کاربردهای فراوان و عظیمی پیدا کرده به‌طوری که مطالعه‌ی هریک از این شاخه‌ها - بدون استفاده از مفاهیم توپولوژیک - دشوارتر از آن است که فکرش را بکنید.<BR><BR>مطالعه‌ی علم <FONT color=#0000ff>«توپولوژی»</FONT> به‌طور دقیق و آکادمیک نیاز به پیش‌نیازها و مطالعه‌ی زیادی دارد ولی بخش‌های بسیار مهمی از <FONT color=#0000ff>«توپولوژی»</FONT> قسمت شهودی آن است که به‌نظر بنده مطالعه‌ی آن برای شما بسیار سودمند است.<BR><BR>حتی چند سال پیش در این زمینه در مرحله‌ی اول المپیاد ریاضی کشور، سؤال‌هايی آمده بود. <BR><BR>در زمینه‌ی <FONT color=#0000ff>«توپولوژی شهودی»</FONT> منابع خوبی در اختیار ماست از جمله: کتاب <FONT color=#0000ff>«توپولوژی شهودی»</FONT> نوشته‌ی <FONT color=#0000ff>«و. و. پراسلوف»</FONT> که <FONT color=#0000ff>«آقای ارشک حمیدی»</FONT> آن را ترجمه کرده اند و «انتشارات فاطمی» هم ناشر آن است. <BR><BR>هم‌چنین سلسله مقاله‌هايی هم تحت‌عنوان: <FONT color=#0000ff>«آرش در سیاره‌ي تویاپ»</FONT> چند سال پیش در نشریه‌ي <FONT color=#0000ff>«ماهنامه‌ي ریاضیات»</FONT> چاپ شده که اگر بتوانید آن‌ها را پیدا کنید منبع بسیار ارزشمندی است. <BR><BR>نویسنده‌ی این مقاله‌ها، آقای <FONT color=#0000ff>«ایمان افتخاری»</FONT> هستند که المپیادی‌ها حتماً با اسم ایشان آشنا هستند و در ضمن ایشان مطالعه‌هاي خودشان را در ریاضیات در همین زمینه (البته خیلی پیشرفته‌تر!) ادامه داده اند.<BR><BR>از این به بعد در زنگ تفریح ریاضیات گاهی با موضوع‌هاي توپولوزی میهمان شما خواهیم بود. این بار شما را با <FONT color=#0000ff>«نوار موبیوس»</FONT> آشنا می‌کنیم. </FONT></P> <P align=center><IMG style="BORDER-LEFT-COLOR: #0000ff; BORDER-BOTTOM-COLOR: #0000ff; WIDTH: 200px; BORDER-TOP-COLOR: #0000ff; HEIGHT: 246px; BORDER-RIGHT-COLOR: #0000ff" alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/image002.jpg" border=1></P> <P align=justify><FONT color=#000000>حتماً تاکنون رویه‌ها و صفحه‌های زیادی را دیده‌اید مثل: <FONT color=#0000ff>صفحه‌ي معمولی</FONT>، <FONT color=#0000ff>کره</FONT>، <FONT color=#0000ff>مخروط</FONT>، <FONT color=#0000ff>استوانه</FONT> و یا <FONT color=#0000ff>رویه‌های پر پیچ و تاب‌تر</FONT>.<BR><BR>این رویه‌ها، شباهت‌ها و تفاوت‌هایی با هم دارند. بیش‌تر هدف ما هم شناختن این شباهت‌ها و تفاوت‌هاست. مثلاً: یک صفحه (مثل: ورق کاغذ) دارای پشت و رو هست؛ هم‌چنین کره، استوانه و بقیه‌ی رویه‌هایی که از آن‌ها نام بردبم دارای این خاصیت هستند. <BR>رویه‌ای که می‌خواهیم به شما معرفی کنیم دارای این خاصیت نیست.<BR><BR>یک نوار کاغذی بردارید و مانند شکل یک دور آن را تاب دهید و سپس دو لبه‌ی آن را به هم بچسبانید. <BR><BR>اکنون شما صاحب یک <FONT color=#0000ff>«نوار موبیوس»</FONT> هستید! <BR><BR>این رویهي ساده و به‌ظاهر به‌درد نخور دارای یک خاصیت جالب توپولوژیک است. در واقع «نوار موبیوس» یک رو بیش‌تر ندارد. <BR><BR>برای امتحان می‌توانید «<FONT color=#0000ff>نوار موبیوس»</FONT> را رنگ کنید. می‌بینید که بدون برداشتن قلم همه جای آن را می‌توان با یک رنگ، رنگ‌امیزی کرد (برخلاف صفحه‌ي معمولی). <BR><BR>به این‌گونه رویه‌ها «<FONT color=#0000ff>رویه‌های جهت‌ناپذیر»</FONT> می‌نامند. <BR><BR>دلیل این نام‌گذاری را در زنگ تفریح‌های دیگر توضیح می‌دهیم. <BR></FONT></P> <P align=center><FONT color=#000000><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/image004.jpg">      <IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/image006.jpg">      <IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/image008.jpg">      <IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/image009.jpg"></FONT></P> <P align=justify><FONT color=#000000>حال به‌عنوان یک آزمایش جالب، «<FONT color=#0000ff>نوار موبیوس»</FONT>اتان را یک‌بار از روی «خط سبز» مشخص‌شده در شکل با قیچی بچینید. <BR><BR>حال <FONT color=#0000ff>«نوار موبیوس»</FONT> دیگری بسازید و این بار نوار جدید را در امتداد «خط قرمز» مشخص‌شده در شکل قیچی کنید. <BR><BR>حاصل دو آزمایش را با هم مقایسه کنید. <BR><BR> <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/image013.gif"></P></TD></TR> <TR> <TD></TD></TR> <TR> <TD><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/image011.jpg"></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></P> <P align=justify></FONT><FONT color=#000000><BR>حالا شما هم اگر می‌خواهید خاصیت‌های جالب داشته باشید سعی کنید از <FONT color=#0000ff>دورویی</FONT> پرهیز کنید و همیشه <FONT color=#0000ff>یک‌رو</FONT> باشید! </FONT></P></FONT></SPAN> Sun, 27 Apr 2008 08:05:01 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=arjasb&postid=53 arjasb http://arjasb.blogfa.com/post-53.aspx http://arjasb.blogfa.com/post-52.aspx <TABLE id=Table1 cellSpacing=1 cellPadding=1 width="100%" border=0> <TBODY> <TR> <TD class=NormalBold></TD> <TD align=right></TD></TR> <TR> <TD colSpan=2><SPAN class=Normal id=dnn_ctr1146_MainView_ViewEntry_lblEntry>اين‌ها پاسخ‌هاي برخي دانش‌اموزان است در جواب سؤال‌هاي امتحان رياضي!! <HR> <P style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center" align=right><B><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Math_BT_014_Img01.gif"><BR></B><FONT face=Tahoma color=#000080 size=2>این بیچاره سعی خودشو کرده و ظاهراً دیگه چاره‌ای نداشته. <BR>حتماً استاد هم از اون کسایی بوده که به راه‌حل نمره نمیدن.<BR>هر چند من اگر جای استاد بودم به‌خاطر خلاقیت‌اش نمره‌اش رو می‌دادم.<BR></P></FONT> <HR> <P dir=ltr style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; DIRECTION: ltr; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center"><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Math_BT_014_Img02.gif"><BR></P> <P dir=rtl style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px" align=center> </P> <P dir=rtl style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px" align=center><FONT color=#000080 size=2><SPAN style="FONT-FAMILY: Tahoma">صورت سؤال اينه كه: </SPAN><SPAN dir=ltr style="FONT-FAMILY: Tahoma">x</SPAN><SPAN style="FONT-FAMILY: Tahoma"> را بيابيد، <BR>دانش‌اموز عزيز هم زحمت كشيده و </SPAN><SPAN dir=ltr style="FONT-FAMILY: Tahoma">x</SPAN><SPAN style="FONT-FAMILY: Tahoma"> را پيدا كرده‌اند!!!</SPAN></FONT><BR></P><FONT face=Tahoma size=2> <HR> </FONT> <P dir=ltr style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; DIRECTION: ltr; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT color=#000080 size=2><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Math_BT_014_Img03.jpg"><BR></FONT></P> <P style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma color=#000080 size=2>اینم جواب آقا پیتر وقتی ازش خواسته شده این چند جمله‌ای رو بسط بده<BR></P> <HR> </FONT> <P dir=ltr style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; DIRECTION: ltr; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center" align=center><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Math_BT_014_Img04.gif"><BR> </P> <P dir=ltr style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; DIRECTION: ltr; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma color=#000080 size=2>این‌که دیگه آخرشه<BR></P> <HR> </FONT> <P dir=ltr style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; DIRECTION: ltr; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center" align=center><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Math_BT_014_Img05.gif"><BR> </P> <P dir=ltr style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; DIRECTION: ltr; unicode-bidi: embed; TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma color=#000080 size=2>اینم که دیگه بدون شرحه</FONT></P> <P dir=rtl style="MARGIN-TOP: 0px; MARGIN-BOTTOM: 0px; TEXT-ALIGN: center" align=center></P></SPAN></TD></TR></TBODY></TABLE> Sun, 27 Apr 2008 08:02:34 GMT http://commenting.blogfa.com/?blogid=arjasb&postid=52 arjasb http://arjasb.blogfa.com/post-52.aspx http://arjasb.blogfa.com/post-51.aspx <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma><FONT color=#008000 size=4>رياضيات و فيلم‌هاي سينمايي!</FONT></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT face=Tahoma><FONT color=#808040><FONT size=4>اعداد «چهارگان»</FONT></FONT></FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P><BR><BR><BR><BR></TD></TR> <TR> <TD bgColor=#eeedfc><FONT face=Tahoma><FONT color=#0000ff size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>اشاره</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE> <P align=justify><FONT color=#808080 size=2>آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.</FONT> </P></FONT> <P dir=rtl><FONT color=#808080 size=2></FONT></P> <P dir=rtl><FONT color=#808080 size=2></FONT></P><BR><BR><FONT color=#808080><FONT size=2><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>چكيده</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></FONT><FONT color=#808080><FONT size=2>اهداف آموزشي<BR><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/General/Black-Squre.jpg"> اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش<BR>    </FONT></FONT><FONT color=#808080 size=2>- «دانش امور جزوي» > «دانش اصطلاح‌ها»<BR>    </FONT><FONT color=#808080 size=2>- «دانش امور جزوي» > «دانش واقعيت‌هاي مشخص»<BR>    </FONT><FONT color=#808080 size=2>- «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»<BR></FONT><FONT color=#808080 size=2><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/General/Black-Squre.jpg"> اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني<BR>    </FONT><FONT color=#808080><FONT size=2>- «فهميدن» < «ترجمه» <</FONT></FONT><FONT color=#808080><FONT size=2> «برون‌يابي»<BR>    - «فهميدن» <</FONT></FONT><FONT color=#808080><FONT size=2> «كاربستن»<BR>    - «فهميدن» < «تحليل» < «تحليل روابط»<BR>    </FONT></FONT><FONT color=#808080><FONT size=2>- «فهميدن» < «تحليل» < «تحليل عناصر»<BR>    </FONT></FONT><FONT color=#808080><FONT size=2>- « فهميدن» < «تركيب» < «كاربستن»<BR>    </FONT></FONT><FONT color=#808080><FONT size=2>- « فهميدن» < «تركيب» < «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»<BR>    </FONT></FONT><FONT color=#808080><FONT size=2>- « فهميدن» < «تركيب» < «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»<BR></FONT></FONT><FONT color=#808080 size=2><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/General/Black-Squre.jpg"> نتايج مورد نظر <BR>    </FONT><FONT color=#808080 size=2>- آشنايي با اعداد موهومي<BR>    </FONT><FONT color=#808080 size=2>- استفاده از مفاهيم تئوري اعداد موهومي در جهان واقعيت<BR></FONT><FONT color=#808080 size=2><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/General/Black-Squre.jpg"> محتواي آموزشي (سرفصل‌هاي المپياد جهاني)<BR>    </FONT><FONT color=#808080><FONT size=2>- نظريه‌ي اعداد < اعداد موهومي</FONT></FONT></FONT></TD></TR> <TR> <TD><FONT face=Tahoma><BR><BR><BR></FONT></TD></TR> <TR> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><B><FONT face=Tahoma></FONT></B></P><FONT face=Tahoma size=2> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center> <IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-20.jpg"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 1.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P></FONT> <P dir=rtl><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl><FONT face=Tahoma size=2><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>اشاره</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT><FONT face=Tahoma size=2>پف فيلي بخريد! بر روي صندلي سينما بنشينيد! راحت لم بدهيد! حال بياييم افراد و چيزهايي كه نقش‌هاي اصلي را در فيلم دارند، بررسي كنيد ...</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اين جمله‌هايي است كه رياضيداني به‌نام <FONT color=#0000ff>«ژوان ليزنبي» (Joan Lasenby)</FONT> مطلب جالب ذيل را با آن آغاز كرده است كه براي «زنگ تفريح» انتخاب كرده‌ايم. <FONT color=#0000ff>«ژوان ليزنبي» (Joan Lasenby)</FONT> رياضيات را در <FONT color=#0000ff>«ترينيتي كالج كمبريج» (Trinity College Cambridge)</FONT> آغاز كرد. سپس دوره‌ي <FONT color=#0000ff>«دكتري» (PhD)</FONT> را در دپارتمان فيزيك - گروه <FONT color=#0000ff>«نجوم راديويي» (Radio Astronomy)</FONT> ادامه داد. </FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>پس از دوره‌ي كوتاهي كه براي يك شركت فعاليت صنعتي انجام مي‌داد به فعاليت‌هاي دانشگاهي بازگشت و هم‌اكنون يك مدرس دانشگاهي در <FONT color=#0000ff>«گروه فرايندهاي سيگنالي» (Signal Processsing Group)</FONT> از <FONT color=#0000ff>«دپارتمان مهندسي كمبريج» (Cambridge University Engineering)</FONT>، يك عضو و مدير پژوهشي در <FONT color=#0000ff>«كالج ترينيتي» (Trinity College)</FONT> است.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>علايق پژوهشي وي در حوزه‌ي <FONT color=#0000ff>«تصاوير كامپيوتري» (Computer Vision)</FONT>، <FONT color=#0000ff>«گرافيك كامپيوتري» (Computer Graphics)</FONT>، <FONT color=#0000ff>«فرايندسازي تصاوير» (Image Processing)</FONT>، <FONT color=#0000ff>«ضبط تصوير» (Image Processing)</FONT>، <FONT color=#0000ff>«ضبط حركت» (Motion Capture)</FONT> و <FONT color=#0000ff>«جبر هندسي» (Geometric Algebra)</FONT> است.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma><FONT size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-14.jpg"> </P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 2 - «ژوان ليزنبي» (Joan Lasenby).</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></P> <P dir=rtl><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2> <P dir=rtl align=justify><BR><BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>رياضيات با افتخار تقديم مي‌كند ...</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><FONT face=Tahoma><FONT size=2><FONT color=#000000>همه‌ي ما از تصاوير كامپيوتري – كه به‌طور باورنكردني شبيه به دنياي واقعي هستند – متعجب مي‌شويم. آن‌چه اغلب ما نمي‌فهميم آن است كه دايناسورهاي</FONT> <FONT color=#0000ff>«پارك ژوراسيك»</FONT> و<FONT color=#000000> موارد اعجاب‌انگيز فيلم</FONT> <FONT color=#0000ff>«ارباب حلقه‌ها»</FONT><FONT color=#000000> [به‌خصوص تغيير شكل‌هاي</FONT> <FONT color=#0000ff>«غلام»</FONT> <FONT color=#0000ff>(Golum)</FONT><FONT color=#000000>]</FONT><FONT color=#000000> بدون «رياضيات» ميسر نمي‌شود.</FONT></FONT></FONT></P></FONT> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>اما چگونه تصاوير اعجاب‌انگيز ساخته مي‌شوند؟ گرافيك و تصاوير مجازي كامپيوتري، موضوع‌هاي مهمي تلقي مي‌شوند. قصد داريم نگاه ساده‌‌اي به رياضياتي بياندازيم زيرا كه ما را به ايجاد محصول نهايي رهنمون مي‌كند. ابتدا دنيايي را خلق مي‌كنيم كه در فيلم‌ها ديده مي‌شود؛ سپس آن را با زندگي تطبيق مي‌دهيم.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-02.jpg"> </P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 3 – ابتدا اشيا با اسكلت‌هاي سيمي<BR>مدل مي‌شوند كه از چندضلعي‌هاي ساده<BR>نظير: «مثلث» تشكيل شده‌اند.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR><BR><BR><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>صحنه‌پردازي</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT><FONT face=Tahoma size=2>اولين مرحله در خلق يك فيلم توليدي كامپيوتري، ايجاد شخصيت‌هاي داستاني و دنيايي است كه آن‌ها در آن زندگي مي‌كنند. هركدام از اين اشيا به‌صورت صفحه‌هايي طراحي مي‌شوند كه از «چندضلعي‌هاي» به‌هم متصل (به‌خصوص <FONT color=#0000ff>«مثلث‌ها»</FONT>) تشكيل شده‌اند. </FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>رؤوس هر مثلث در حافظه‌ي كامپيوتر ذخيره مي‌شوند. چيزي كه اهميت دارد آن است كه بدانيم كدام وجه مثلث، بيرون شيء يا شخصيت مورد نظر است. </FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اين اطلاعات به‌صورت رمز آورده مي‌شوند (Encode) تا رؤوس را بر <FONT color=#0000ff>«قانون دست راست»</FONT> ذخيره كنند. انگشتان دست خود را در اطراف مثلث خم كنيد تا به رؤوس آن برسيد. تنها يك راه براي اين‌كار وجود دارد و انگشتان‌تان به يك ضلع مثلث منتهي مي‌شود كه اين ضلع وجه خارجي آن است.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اگر سعي كنيد به‌طور مثال اين امر را عملي كنيد مي‌فهميد كه جهت خارجي [به‌نام <FONT color=#0000ff>«عمود خارجي» (Outward Normal)</FONT>] مربوط به مثلث <IMG style="WIDTH: 60px; HEIGHT: 21px" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211.gif"> در خلاف جهت مثلث <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(58).gif"> است.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P><FONT face=Tahoma><FONT size=2> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-03.jpg"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 4 – خط عمود خارجي <IMG style="WIDTH: 60px; HEIGHT: 21px" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211.gif"> در جهت خلاف جهت مثلث <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(58).gif"><BR>مطابق با «قانون دست راست» است.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P></FONT></FONT> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>اكنون سطح شيء مورد نظر را مجموعه‌اي از شبكه‌هاي فلزي از مثلث‌ها باشد مي‌توانيم هر جزو آن را رنگ كنيم. </FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>در اين‌جا مهم است كه به‌طور واقعي از نورپردازي صحنه‌هايي عكس‌برداري كنيم كه مي‌خواهيم مدل كنيم. اين كار با استفاده از فرايندي به‌نام <FONT color=#0000ff>«رديابي پرتوي» (Ray Tracing)</FONT> انجام مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>با شروع از نقطه‌ي ديد ما، پرتوهايي را رديابي مي‌كنيم كه به‌سمت شيء مورد نظر تابانده مي‌شود:<BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>- اگر پرتوها از چشم ما به‌سمت رويه‌ها (يكي از مثلث‌هاي شبكه‌ي فلزي) منعكس شود و با منبع نوراني برخورد كرده آن رويه را با يك رنگ روشن، سايه مي‌دهيم به‌گونه‌اي كه نشان‌دهنده‌ي پرتوافكني منبع نوراني باشد. </FONT></P></TD></TR> <TR> <TD></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>- اگر پرتو منعكس شده، به منبع نوراني برخورد نكند رويه را با رنگي تيره‌تر، رنگ مي‌كنيم.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2><BR> <TABLE align=center> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG alt="" src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-04.jpg"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 5 – يك پرتو از ديد ما به يك رويه<BR>را رديابي كنيد.  آيا پرتو مذكور<BR>منعكس نشده  و به يك منبع نوراني<BR>برخورد مي‌كند؟</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR>براي رديابي پرتوي كه به رويه‌اي به‌خصوص بازمي‌گردد نياز به توضيح رياضي <FONT color=#0000ff>«سطح»</FONT> داريم و معادله‌هاي هندسي را در آن پرتو و <FONT color=#0000ff>«سطح»</FONT> – كه توسط آن رويه توصيف مي‌شود – حل مي‌كنيم. اين عمليات توسط <FONT color=#0000ff>«بردارها» (Vectors)</FONT> انجام مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>يك دستگاه مختصات سه‌بعدي در مبدأ مختصات [نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(57).gif">] در صحنه‌ي مورد نظرمان در نقطه‌ي ديد ما قرار مي‌گيرد. اكنون يك بردار <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(56).gif"> جهت شروع از مبدأ را مشخص كرده و به نقطه‌اي با مختصات <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(55).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(54).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(53).gif"> منتهي مي‌كنيم. </FONT></FONT></P> <P dir=rtl><FONT face=Tahoma><FONT size=2>مي‌توانيم را در يك عدد مثل 2 بدين‌ترتيب ضرب كنيم:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(51).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl><FONT face=Tahoma><FONT size=2><BR><BR>بنابراين <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(50).gif"> پيكاني است هم‌جهت با بردار <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(52).gif"> اما داراي طولي دو برابر آن.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اكنون به عبارت <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(49).gif"> توجه كنيد كه در آن <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(48).gif"> يك متغير است؛ به‌عبارت ديگر عددي <FONT color=#0000ff>«حقيقي»</FONT> است؛ بيانگر پيكاني با طول معين است بنابراين نه‌تنها <FONT color=#0000ff>«طول»</FONT> بلكه <FONT color=#0000ff>«جهت»</FONT> هم متغير محسوب مي‌شود؛ به‌عبارت ديگر، عبارت مذكور بيانگر خطي است كه شامل بردار <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(52).gif"> است يعني بيانگر خطي مستقيم (يعني <FONT color=#0000ff>«پرتوي»</FONT>) است كه از مبدأ (<FONT color=#0000ff>«نقطه‌ي ديد ما»</FONT>) آغاز شده و هم‌جهت با بردار <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(52).gif"> است.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>صفحه‌ي تعريف شده توسط <FONT color=#0000ff>«رويه‌ي مثلثي شكل»</FONT> مي‌تواند با سه نوع داده بيان شود:<BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"></TD> <TD><FONT size=2>- محل يكي از رؤوس به‌نام <FONT color=#0000ff>«رأس»</FONT> <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(47).gif"></FONT></TD></TR> <TR> <TD></TD> <TD><FONT size=2>- <FONT color=#0000ff>«بردارهايي»</FONT> بيانگر آن خط از نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(47).gif"> به رأس  <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(46).gif"></FONT></TD></TR> <TR> <TD></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>- <FONT color=#0000ff>«خط»</FONT> مرسوم از رأس <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(47).gif"> به رأس <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(45).gif">.</FONT></FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>رابطه‌هاي ذيل بيانگر روابط مربوط به يك پرتو است كه از چشم ما آغاز و به صفحه‌ي نشان داده شده با يك رويه ختم مي‌شود. براي درك چگونگي و محل تلاقي پرتو مذكور با رويه و محاسبه‌ي روابط پرتو منعكس شده، نياز به حل معادله‌هاي مربوط به آن هستيم.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>معادله‌ي يك پرتو كه در آن <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(48).gif"> عددي <FONT color=#0000ff>«حقيقي»</FONT> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(52).gif">يك <FONT color=#0000ff>«بردار»</FONT> است به‌صورت ذيل نوشته مي‌شود:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(44).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>(رابطه‌ي 1)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>معادله‌ي صفحه‌ي نشان داده شده با يك <FONT color=#0000ff>«رويه»</FONT> همراه با رؤوس <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(47).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(46).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(45).gif"> عبارت است از [1]:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(43).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>(رابطه‌ي 2)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>رديابي پرتوها مي‌تواند صحنه‌هايي واقعي اما خيلي كُند بيافريند. اين امر براي فيلم‌هاي ساخته شده توسط كامپيوتر پذيرفتني است اما زماني كه به تكنيك‌هاي نورپردازي در صحنه‌هاي واقعي نياز باشد (مانند: بازي‌هاي كامپيوتري) امري مشكل محسوب مي‌شود.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>مدل كردن ديناميك مفاهيم پيچيده نظير: سايه‌ها، جلوه‌هاي ويژه و انعكاس‌هاي چندگانه سخت بوده و در اين موارد، روش‌هاي رياضي پيچيده‌‌تري نيازمند است؛ روش‌هايي نظير: <FONT color=#0000ff>«انتقال پرتوهاي پيش محاسبه شده» (Recomputed Radiance Transfer)</FONT> و <FONT color=#0000ff>«راديوسيتي»</FONT> [2].</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-05.jpg"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>الف.</FONT></P></TD></TR> <TR> <TD></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2></FONT><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-06.jpg"> </P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>ب.</FONT></P></TD></TR> <TR> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma><FONT color=#0000ff size=2>شكل 6 – بازي‌هاي كامپيوتري مانند: <BR>«دوم 3» (Doom 3) </FONT></FONT><FONT face=Tahoma><FONT color=#0000ff size=2>و «شب‌هايي كه<BR>هرگز زمستاني نيست» (Neverwinter Nights)<BR></FONT></FONT><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2>نياز به نورپردازي ديناميك دارد.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P></FONT> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2><BR><BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>آن‌چه پنداشته مي‌شود كمي تخيل است</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اولين بار كه صحنه‌ي مورد نظر تنظيم مي‌شود ما منتظر كارگردان مي‌مانيم تا فرياد براورد: <FONT color=#0000ff>«حركت!» (!Action)</FONT>؛ بدين‌ترتيب شخصيت‌هاي فيلم شروع به حركت مي‌كنند. اكنون ما رياضياتي را مورد آزمايش قرار مي‌دهيم كه مي‌توانند تصاوير را به زندگي ما بياوردند.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>يكي از اولين حركت‌هاي اساسي‌اي كه يك شيء مي‌تواند اجرا كند چرخش دور يك محور و زاويه‌ي داده شده است. <FONT color=#0000ff>«هندسه‌ي مختصاتي» (Coordinate Geometry)</FONT> ابزاري براي محاسبه‌ي موقعيت هر نقطه در شيء زماني است كه دوران مي‌كند. اما در عين حال ابزاري مؤثر و سريع محسوب نمي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>براي يافتن چنين ابزاري اجازه دهيد يك مرحله به قبل بازگرديم يعني به كلاس رياضي. مي‌دانيم براي 25 دو ريشه‌ي درجه‌ي دوم وجود دارد:<BR><BR></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"></TD> <TD><FONT size=2>- <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(42).gif"></FONT></TD></TR> <TR> <TD></TD> <TD><FONT size=2>- <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(41).gif"></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>به‌گونه‌اي كه داشته باشيم:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(40).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اما ريشه‌ي دوم عدد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(39).gif"> چيست؟</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>براي يافتن ريشه‌ي دوم اعداد منفي، رياضيدانان مجبورند عددي جديد به‌نام خلق كنند به‌گونه‌اي كه داشته باشيم:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(37).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR></FONT></FONT><FONT face=Tahoma size=2><BR>سپس از آن‌جايي كه داريم:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(36).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR></FONT><FONT face=Tahoma size=2><BR>رابطه‌ي ذيل را درمي‌يابيم:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(35).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>با مقدمه‌اي كه در مورد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif"> گفته شد در مي‌يابيم كه معادله‌هايي شبيه به <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(34).gif"> اكنون حل‌شدني هستند. هم‌چنين اعدادي به‌شكل <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(33).gif">- كه عدد <FONT color=#0000ff>«مختلط» (Complex)</FONT> ناميده مي‌شوند – ابزاري مهم در رياضيات محسوب مي‌شوند. اما بسياري از مردم با عدد جديد، عجيب و موهومي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif">ارتباط برقرار نمي‌كنند.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>نهايتاً در سال 1184 (1806 ميلادي)، رياضيداني آماتور به‌نام <FONT color=#0000ff>«جين رابرت آرگاند» (Jean Robrt Argand)</FONT> تفسيري هندسي از اعداد <FONT color=#0000ff>«مختلط»</FONT> و عدد <FONT color=#0000ff>«موهومي» (Imaginary)</FONT> <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif"> ارائه داد. «<FONT color=#0000ff>آرگاند» (Argand)</FONT> اعداد <FONT color=#0000ff>«مختلط»</FONT> را با نقاطي در صفحه نشان داد به‌گونه‌اي كه:<BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"></TD> <TD><FONT size=2>- عدد <FONT color=#0000ff>«حقيقي»</FONT> 1 بر روي يك محور </FONT></TD></TR> <TR> <TD></TD> <TD><FONT size=2>- و عدد <FONT color=#0000ff>«موهومي»</FONT> <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif"> بر روي محور ديگر </FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>قرار گرفته است. </FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2> به‌عنوان مثال:</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>عدد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(32).gif"> به نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(31).gif"> نسبت داده مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>معمولاً يك عدد <FONT color=#0000ff>«مختلط»</FONT> <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(30).gif"> به نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(29).gif"> منتسب مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P><FONT face=Tahoma><FONT size=2> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-07.jpg"> </P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 7 – ضرب اعداد «مختلط» <BR>داراي توصيفي هندسي است: «دوران» (Rotation).</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P></FONT></FONT> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2><FONT color=#0000ff>«آرگاند» (Argand)</FONT> فهميد كه ضرب اعداد <FONT color=#0000ff>«مختلط»</FONT> داراي توصيفي هندسي است كه آن عبارت است از: <FONT color=#0000ff>«دوران» (Rotation)</FONT>. اجازه دهيد به آن‌چه در اثر ضرب عدد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(28).gif"> - كه با نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(31).gif">‌نشان داده مي‌شود – در عدد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif"> اتفاق مي‌افتد نگاهي داشته باشيم:<BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(27).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR>(رابطه‌ي 3)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>عدد به‌دست آمده با نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(26).gif"> نشان داده شده كه در واقع دوراني 90 درجه‌اي نسبت به نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(31).gif">‌محسوب مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اگر نتيجه‌ي حاصل را در <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif"> مجدداً ضرب كنيم خواهيم داشت:<BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(25).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>(رابطه‌ي 4)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>عدد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(24).gif"> نشان‌دهنده‌ي نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(23).gif"> است كه دوران 90 درجه‌اي دوباره‌ي نقطه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(26).gif"> محسوب مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>بنابراين ضرب كردن در عدد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif">‌به‌معني <FONT color=#0000ff>«دوران 90 درجه‌اي»</FONT> است. در واقع، هر دوراني نه‌تنها دوران 90 درجه‌اي مي‌تواند با استفاده از ضرب در يك عدد <FONT color=#0000ff>«مختلط»</FONT> به‌دست آيد.<BR><BR><BR><BR></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma><FONT size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-17.gif"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 8 – «سر ويليام روان هاميلتون»<BR>(Sir William Rowan Hamilton).</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>حركت سه‌بعدي</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT>رياضيداني به‌نام <FONT color=#0000ff>«سر ويليام روان هاميلتون» (Sir William Rowan Hamilton)</FONT> شايد مشهورترين فرد در دانشگاه <FONT color=#0000ff>«ترينيتي»</FONT> شهر <FONT color=#0000ff>«دوبلين» (Trinity College Dublin)</FONT> باشد. وي دهه‌ي آخر زندگي‌اش را در جستجوي راهي براي بيان دوران‌هاي سه‌بعدي در وضعيتي مشابه با اعداد «مختلطي» صرف كرد كه مي‌تواند <FONT color=#0000ff>«دوران‌هاي دوبعدي»</FONT> را بيان مي‌كند.</FONT></FONT></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2><FONT color=#0000ff><FONT color=#000000> </FONT>«هاميلتون» (Hamilton)</FONT> در انتهاي عمرش جوابي را كشف كرد كه در آن اعداد به‌شكل ذيل هستند كه به‌نام <FONT color=#0000ff>«چهارگان»‌ (Quaternions)</FONT> خوانده مي‌شوند:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(22).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>(رابطه‌ي 5)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>كه در آن داريم:<BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(21).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>(رابطه‌ي 6)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>هم‌چنين اعداد <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(20).gif"> <FONT color=#0000ff>«حقيقي»</FONT> محسوب مي‌شوند.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اعداد <FONT color=#0000ff>«چهارگان»‌ (Quaternions)</FONT> - همانند آن‌چه در مورد اعداد <FONT color=#0000ff>«مختلط»</FONT> گفته شد – به‌صورت هندسي قابل توصيف بوده و براي بيان آن از <FONT color=#0000ff>«دوران» (Rotation)</FONT> استفاده مي‌شود. اما در آن به‌جاي دوبعد، دوران در فضاي سه‌بعدي انجام مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>براي اين منظور <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(19).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(18).gif"> بيانگر صفحه‌هاي <FONT color=#0000ff>«اصلي» (Elemental)</FONT> در فضاي سه‌بعدي هستند؛ به اين معنا كه <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(19).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(18).gif"> به‌ترتيب بيانگر صفحه‌هاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(17).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(16).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(15).gif"> با خط عمود خارجي به‌ترتيب در جهت‌هاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(14).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(13).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(12).gif"> مي‌باشند. </FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma><FONT size=2><FONT color=#0000ff> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-09.jpg"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT size=2><FONT color=#0000ff>شكل 9 – <FONT color=#000000> <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif">،</FONT> <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(19).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(18).gif"> به‌طور هندسي <BR>مي‌توانند به‌عنوان صفحه‌هاي<BR>  «اصلي» (Elemental) در فضاهاي <BR>سه‌بعدي تلقي شوند</FONT>.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></FONT><FONT face=Tahoma><FONT size=2></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>فرض كنيد مي‌خواهيم نقطه‌اي نظير: <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(11).gif"> را با زاويه‌ي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(10).gif"> حول يك محور – كه با بردار <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(9).gif"> نشان داده مي‌شود – دوران دهيم.<BR><BR>دو عدد <FONT color=#0000ff>«چهارگان»‌ (Quaternions)</FONT> و را با استفاده از بردار <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(8).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(7).gif"> زاويه‌ي دوران <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(10).gif"> با رابطه‌هاي ذيل ايجاد مي‌كنيم:<BR><BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(6).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR>(رابطه‌ي 7)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>و<BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(5).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR>(رابطه‌ي 8)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>سپس مي‌توانيم دو طرف رابطه‌هاي 7 و 8 را در <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(55).gif"> - كه به‌عنوان تركيبي از بردار <FONT color=#0000ff>«واحد» (Unit Vector)</FONT> در جهت‌هاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(14).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(4).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(12).gif">بيان مي‌شود - البته با پيروي از قواعد ويژه‌اي براي ضرب صفحه‌هاي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(19).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(18).gif"> و بردارهاي <FONT color=#0000ff>«واحد»</FONT>، ضرب كنيم. بدين‌ترتيب رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:<BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(3).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR>(رابطه‌ي 9)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR>نقطه‌اي كه با اين ضرب به‌دست مي‌آيد درست همانند آن است كه محور داده شده را تحت <FONT color=#0000ff>«زاويه‌ي داده شده»</FONT> بچرخانيم.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>بنابراين همان‌گونه كه اعداد <FONT color=#0000ff>«مختلط»</FONT> مي‌توانند براي توصيف <FONT color=#0000ff>«دوران‌ها»</FONT> در يك صفحه به‌كار روند اعداد <FONT color=#0000ff>«چهارگان» (Quaternions)</FONT> نيز مي‌توانند براي توصيف <FONT color=#0000ff>«دوران‌ها در فضاي سه‌بعدي»</FONT> به‌كار روند.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اين فكر زماني در ذهن <FONT color=#0000ff>«سر ويليام روان هاميلتون» (Sir William Rowan Hamilton)</FONT> خطور كرد آن‌هم زماني كه زير پل <FONT color=#0000ff>«دوبلين» (Dublin)</FONT> قدم مي‌زد؛ وي به اين نتيجه دست يافت كه مؤثرترين روش، دوران اشيا در سه بعد است. اما همه از روش ضرب جديدش خوشحال نشدند.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma><FONT color=#0000ff size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-18.jpg"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 10 – «لرد كلوين» (Lord Kelvin).</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>فيزيكدان مشهور <FONT color=#0000ff>«لرد كلوين» (Lord Kelvin)</FONT> درباره‌ي اعداد <FONT color=#0000ff>«چهارگان» (Quaternions) </FONT>مي‌گويد: «... با وجود ابتكار زيبايي كه انجام شده است براي افرادي كه با اين مسأله در تماس قرار بگيرند شديداً نامطلوب به‌نظر مي‌رسد»!<BR><BR>به‌خصوص با وجود برخي نگراني‌ها، اين واقعيتي است كه وقتي دو عدد <FONT color=#0000ff>«چهارگان» (Quaternions)</FONT> را در هم ضرب مي‌كنيد جواب به <FONT color=#0000ff>«شيوه‌‌اي»</FONT> بستگي دارد كه آن‌ها را در هم ضرب مي‌كنيد ويژگي‌اي كه <FONT color=#0000ff>«ناجابه‌جايي» (Non Commutativity)</FONT> ناميده مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>به‌عنوان مثال:</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>از قواعد ضرب <FONT color=#0000ff>«هاميلتوني» (Hamilton's Multiplication)</FONT> مي‌توان روابط ذيل را نشان داد:<BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><FONT size=2> <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(2).gif"></FONT></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR>(رابطه‌ي 10)<BR> <TABLE align=left> <TBODY> <TR> <TD><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(1).gif"></TD></TR></TBODY></TABLE><BR><BR> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2><BR></FONT></P></FONT> <P></P> <P></P> <P></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: left" align=right><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>(رابطه‌ي 11)</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>اما به‌هر حال مي‌توان نشان داد وقتي فرد بر روي <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(38).gif">، <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(19).gif"> و <IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-04211%20(18).gif"> به‌عنوان صفحه‌هاي <FONT color=#0000ff>«اصلي» (Elemental)</FONT> عمل مي‌كند ويژگي‌هايي كه اين‌چنين از نظر <FONT color=#0000ff>«كلوين» (Kelvin)</FONT> و دانشمندان هم‌عصر وي نگران‌كننده بودند به‌طور مستقيم از رياضيات آن زمان نشأت مي‌گرفت.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-10.gif"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 11 – شكل قوري چاي‌خوري<BR>به‌تدريج در طي يك مجموعه فريم تغيير مي‌كند.</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></P></FONT> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2><BR><BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>آوردن تصاوير به زندگي</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT><FONT face=Tahoma><FONT size=2>ابتكار <FONT color=#0000ff>«هاميلتون» (Hamilton)</FONT> امروزه در بسياري از كاربردهاي گرافيكي براي حركت اشيا يا ايجاد حركت به‌كار مي‌رود. دو نوع از ابزارهاي مهم در كاربردهاي گرافيك كامپيوتري عبارت‌اند از:<BR><BR> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 20px"></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>- <FONT color=#0000ff>«تغيير شكل‌ها» (Deformations)</FONT></FONT></FONT></P></TD></TR> <TR> <TD></TD> <TD> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>- <FONT color=#0000ff>«درون‌يابي» (Interpolation)</FONT>.</FONT></FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2><FONT color=#0000ff>«درون‌يابي» (Interpolation)</FONT> و روش <FONT color=#0000ff>«تعيين چهارچوب كليدي» (Key Framing)</FONT> شروع طراحي يك شيء را تعيين كرده شكل و موقعيت آن را به پايان مي‌برد. مراحل مياني فعاليت طراحي توسط كامپيوتر مشخص مي‌شود (شكل 11).</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2><FONT face=Tahoma><FONT size=2><A href="http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/snake4.avi" target=_blank><FONT face=Tahoma><FONT size=2>انيميشني</FONT></FONT></A></FONT></FONT> از يك مار با عنوان <FONT color=#0000ff>«مار اوليه» (Rudimentary Snake)</FONT> توسط <FONT color=#0000ff>«ريچارد وارهام» (Richard Wareham)</FONT> طراحي شده است كه در آن، تمام مار با كامپيوتر با استفاده از <FONT color=#0000ff>«درون‌يابي» (Interpolation)</FONT> از حركت چند نقطه‌ي مشخص شده توليد مي‌شود.<BR><BR><FONT color=#0000ff>ياداوري -</FONT> <FONT color=#808080>براي مشاهده‌ي انيميشن مذكور نياز به نرم‌افزار </FONT><A href="http://www.divx.com/" target=_blank><FONT color=#808080>Divx</FONT></A><FONT color=#808080> داريد.</FONT><BR></FONT></FONT><FONT face=Tahoma><FONT size=2><BR>تغيير شكل‌ها روشي براي طراحي اشياي پيچيده از انواع ساده‌تر آن است. پوششي كه از روي يك كره‌ي تغيير شكل‌يافته برداشته مي‌شود مي‌تواند با دستكاري رياضي همان صحنه شامل يك كره‌ي معمولي به‌دست آيد. هم دستكاري‌ها و هم درون‌يابي‌ها نياز به روش‌هاي رياضي پايدار و سريع و روش‌هاي وابسته به اعداد <FONT color=#0000ff>«چهارگان» (Quaternion)</FONT> دارد كه فقط همان‌ها را فراهم مي‌كند.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-15.jpg"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 12 – فيلم «ارباب حلقه‌ها».</FONT></P></TD></TR> <TR> <TD></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><IMG src="http://www.roshd.ir/roshd/Portals/0/0and1/olympiad/Mathematics/BreakTime/Bt-Math-042-16.gif"></P></TD></TR> <TR> <TD> <P align=center><FONT color=#0000ff size=2>شكل 13 - «غلام» در فيلم<BR>«ارباب حلقه‌ها» (The Lord of the Rings).</FONT></P></TD></TR></TBODY></TABLE><BR></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma color=#0000ff size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma><FONT color=#0000ff size=2></FONT></FONT> </P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: center" align=center><FONT face=Tahoma size=2></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT color=#0000ff size=2> <TABLE> <TBODY> <TR> <TD style="WIDTH: 50px" bgColor=#c0c0c0></TD> <TD><FONT color=#0000ff size=2>ايجاد شخصيت «غلام» (Gollum) به‌صورت باوركردني (Making Gollum Believable)</FONT></TD></TR> <TR> <TD colSpan=2><FONT color=#0000ff size=2>در فيلم «ارباب حلقه‌ها» (The Lord of the Rings)</FONT></TD></TR></TBODY></TABLE></FONT></FONT><FONT face=Tahoma size=2>روش‌هاي توصيف شده‌ي مذكور، ابزارهاي اساسي‌اي براي ساخت انيميشن‌هاي كلاسيك بوده و اعتقاد ما ناشي از شخصيت‌هاي كارتوني است كه از اين طريق به‌دست آمده و ما را كاملاً خوشحال مي‌كند. اما زماني كه اين ابزار براي انسان‌هاي انيميشني استفاده مي‌شود مي‌توانيم فوراً آن را <FONT color=#0000ff>«نادرست»</FONT> تلقي كنيم زيرا براي ايجاد حركت واقع‌بينانه، معمولاً ضبط حركت مورد نياز است.</FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma><FONT size=2>شخصيت‌هاي زيادي نظير: <FONT color=#0000ff>«غلام» (Gollum)</FONT> در فيلم <FONT color=#0000ff>«ارباب حلقه‌ها» (The Lord of Rings)</FONT> با استفاده از <FONT color=#0000ff>«ضبط حركت»</FONT> ساخته مي‌شوند. اين كار با چسباندن انعكاس‌ها به افراد واقعي در نقطه‌هاي محوري بدن، سر، شانه‌ها، آرنج‌ها، زانوها و ... مربوط به آن شخصيت‌ها انجام مي‌شود.</FONT></FONT></P> <P dir=rtl style="TEXT-ALIGN: justify"><FONT face=Tahoma size=2>با چند دوربين از شخصيت‌ها فيلمبرداري مي‌شود؛ هم‌چنين در محل انعكاس‌هايي كه بر روي يك كامپيوتر ذخيره مي‌شود تغيير ايجاد خواهد شد. سپس با داده‌هاي سه‌بعدي تنظيم مي‌گردد. نهايتاً همه‌ي روش‌هاي توصيف شده مذكور منتهي به گذاشتن <FONT color=#0000ff>«گوشت»</FONT> بر روي استخوان‌ها و خلق يك شخصيت در حال حركت، د